Java-Apfelmännchen

(Alle Applets, die ich gemacht habe, findet ihr übrigens auf meiner [Uni-Seite]. Dort gibts auch ein paar hübsche Screenshots.)

Als erstes mal etwas

Wissenswertes über Apfelmännchen

(ganz viele mathematische Erklärungen, die ihr sicher eh alle nicht wissen wollt, aber weil ich ja ein wenig klugscheißern muß, stell ich die trotzdem hier hin):

Apfelmännchen sind die Darstellung konvergenter Folgen. Der Bereich, der unten im Applet komplett schwarz angezeigt wird, ist die Menge der komplexen Zahlen c, für die die Folge z_n+1=z_n²+c konvergiert, d.h. (für alle nicht-Mathematiker) die nicht unendlich groß werden, sondern sich einem bestimmten Wert immer mehr annähern. (Zum Besipiel konvergiert die reelle Folge a_n=1/n gegen 0, die Werte für a_n werden ja auch immer kleiner.)

Nun sind komplexe Zahlen jedoch nicht angeordnet, d.h. es existieren keine Vergleichsmöglichkeiten bezüglich der "Größe"; man kann nicht sagen, ob eine komplexe Zahl a kleiner oder größer ist als eine komplexe Zahl b. Deswegen betrachten wir den Betrag: Wenn die Folge nach einer Bestimmten Anzahl von Iterationen (Wiederholungen der obigen Rechenvorschrift) vom Betrag her kleiner als 2 bleibt, gehen wir davon aus, daß die Folge konvergent ist. (Wir könnten das natürlich auch für jede dieser Folgen einzeln zeigen. Der Computer jedoch nicht. Zumindest mein Applet kann das nicht, weil ich zu blöd bin, sowas zu programmieren...) ;-)

Die Farbabstufungen drumherum zeigen übrigens an, nach wie vielen Iterationen das Programm herausgefunden hat, daß die Folge NICHT konvergiert.

So. Nach so viel trockener Mathe jetzt aber endlich zum Thema.

Anleitung zum Applet:

Feld	Beschreibung
1,2	x- und y-Wert der Mitte der Anzeige
3	Zoomfaktor: jedes Pixel ist in Wirklichkeit so breit
4	Iterationen: So oft die Folge iterieren, um festzustellen, ob sie konvergiert. Je größer die Zahl, desto schärfer der Rand der konvergenten Menge, je kleiner die Zahl, desto scheller die Rechnung. (Hier Zahlen größer als z.B. 5000 einzutragen macht im allgemeinen keinen Sinn, sogar bei starken Vergrößerungen nicht. Selbst mittelmäßig schnelle Rechner brauchen dann für ein Bild mit vielen schwarzen (konvergenten) Flächen eine halbe Ewigkeit. (Zur Zeitkomplexität meines Programmes sag ich lieber nichts, die vielen ineinander geschachtelten Schleifen, gespickt mit vielen schönen komplexen Multiplikationen mit doppelter Genauigkeit, bringen jeden Rechner zum qualmen! ;-) ))
5	Fraktaltyp: 0 = Mandelbrot: zn+1=znk+c für alle c=(x,y) aus dem angezeigten Intervall 1 = Mandelbrot exponentiell: zn+1=znk+ec für alle c=(x,y) im angezeigten Intervall 2 = Julia-Mengen: zn+1=znk+c für alle z0=(x,y) aus dem angezeigten Intervall
6	Potenz k
7,8	Real- und Imaginär-Teil von c für Julia-Mengen (keine Funktion bei Mandelbrot)

• Mit einem Klick auf "color" verändert man die Farbkodierung der nicht-konvergenten Umgebung; gerade Zahlen kodieren linear, ungerade (betrag mod 256).
• Bitte nicht vergessen: Änderungen in den Feldern werden erst duch drücken auf "Go!" aktiv!
• Zum Zoomen einfach in die Mitte das Bereiches klicken, den man genauer sehen will.
• Ach ja, noch was: Wenn da unten nix angezeigt wird, dann benutzt Du den Internet Explorer mit einer alten Java-VM. Da gibts nur eins: Gehe www.sun.com, lade JRE runter und installiere, komme wieder. ;-) Alle anderen, die einen Browser verwenden *g*, und trotzem nix sehen: don't ask me! Vielleicht hilft auch da eine neue VM. Das Programm wurde mit Java 1.4 kompiliert, vielleicht gibt es da noch mehr Inkompatibilitäten.